物理学中的对偶性(上)

2020-07-23 浏览量: 491

物理学中的对偶性(上)

An illustration of magnetic monopole. Photo Credit: Heikka Valja. This photo is adopted from the new “Physics Professor David Hall and Team Observe Quantum-Mechanical Monopoles” on Amherst College official website. News Date: 4/30/2015.

笔者希望以这两年火红的对偶描述为量子霍尔效应作小结,但在这之前,有必要另开篇幅跟大家聊聊所谓的对偶是什幺。

对偶是汉语传统文学的一种修辞技术,又称对仗,常以字数相符的句子两两配成(若讨论元曲,也可见三句配成的鼎足对)依据创作体裁的不同,在配对的格律要求会略有出入,但词性相匹,声韵相对是基本原则,一个隽永的例子是晏几道一阕临江仙的首对「梦后楼台高锁,酒醒帘幕低垂。」[1]。

文学审美,与语言的文字结构相辅相成,对偶修辞显然也是得利于汉字的方块结构。在以数学语言构成的现代物理学中,从固态物理到弦理论也充斥着许多对偶(duality),但此处相对的两个物件,以苏轼所谓「横看成岭侧成峰」来比喻,应该更能直触神髓。

如汉语对偶的细节随体裁而异,物理学中对偶理论的精确定义也随着场合不尽相同,但大致上的意思是,有两个数学上看起来相异的理论,物理内涵是相同的。

一个抽象[2]但离社会大众可能接近一点的例子是电磁学。古典电磁学的内涵是,给你电流跟电荷,原则上透过马克斯威方程式跟边界条件就能决定电场 \(E\) 跟磁场 \(B\) 的状况。若今天系统没有电流跟电荷,将马克斯威方程组的 \(E\) 写成 \(B\),\(B\) 写成 \(-E\),四条方程式维持原样。在比较高阶的教材中,我们常把 \((E, B)\)[3] 写成 \(F\),然后把它的对偶写成 \(^*F=(B,-E)\)。在没有电流跟电荷的状况下,马克斯威方程式的中文就是 \(F\) 的微分等于 \(0\),\(^*F\) 的微分也等于 \(0\)。

如果允许电流跟电荷,这时候马克斯威方程式变成 \(F\) 的微分等于电流/电荷,\(^*F\) 的微分等于 \(0\)。把 \(F\) 写成 \(^*F\) 就会改变电磁学了,若我们希望电磁学有这个对偶性,至少得引进磁荷,或说磁单极。然而,除了在自然状况下磁单极还没被发现的实证疑虑,引进磁单极也会造成现有理论的缺陷。狄拉克(P. Dirac)首先说明如果量子力学跟电磁学都要安然无恙,电子电荷 \(e\) 和磁单极的磁荷 \(g\) 必须符合 \(eg = 2n\pi\) [4],其中 \(n\) 是整数,我们可以注意到,给定一个 \(n\),若 \(e\) 很大,\(g\) 就小,反之当 \(g\) 很大,\(e\) 就小。

另一个例子是二维易辛模型(Ising model),这是一个模拟磁铁最简单的模型,基本上就是一个平面晶格,每个格点上都有一个箭头代表小磁铁,但它们只允许朝上 \((+1)\) 或朝下 \((-1)\)。在研究它的热力学时,交互作用的强度约略可以用温度 \(T\) 或者倒数 \(\frac{1}{T}=K\) 代表。经过一些计算,在原本晶格上的问题可以写成一个在对偶晶格上的问题,只是原本的 \(K\) 换成另一个 \(K’\)。在正方形的晶格中,\(K\) 与 \(K’\) 有一个很对称的关係:\(\sinh K \sinh K’=1\)。读者不用担心不知道 \(\sinh\) 是什幺函数,只需要注意在这个关係中,因为两个人相乘起来是 \(1\),所以当 \(\sinh K\) 很大,\(sinh K’\) 就很小,反之亦然。

这两个例子都有显示一个特色:互相对偶的两个理论中,如果一个交互作用很强,另外一个强度就很小。这几乎是所有对偶性中都具备的特性,更甚者,在一些对偶性可以更精确描述的问题中,我们甚至可以建立「字典」,把一边理论中的变数,和另外一边的其他变数一一对应起来。

研究物理问题时拥有对偶性的好处是,很可能我们对于一个强关联的问题束手无策,但透过了解它的对偶理论,再透过字典回溯原本的问题,也能获得很多资讯。亦即追求对偶性不仅是强化只有业内人士理解的形式美,透过对偶的结构,我们其实是由不同面向去窥探同一物理的堂奥。

物理学中的对偶性(上)

对偶晶格(dual lattice)基本上很好建构,基本上就是在原晶格两个格点连线间画中垂线,这些中垂线形成的晶格就是对偶晶格,比如说我们一开始有左上角的蓝色正方形晶格,他的对偶晶格就是红色虚线的正方形(所以正方形晶格是自对偶(self dual))。同样的我们也可以画三角晶格跟蜂窝晶格的对偶晶格,然后发现这两者是相互对偶的。

连结:物理学中的对偶性(下)


延伸阅读:(笔者按:对偶真的比较难欸,所以有兴趣的可以从这种入门)
Savit, Duality in field theory and statistical systems, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

有志之士可以看底下这两个:
J. Harvey, Magnetic Monopole, Duality and Supersymmetry, arXiv:9603086.
J. Polchinski, Dualities of Fields and Strings, arXiv:1412.5704.

注解:

[1] 作为一个北宋常见的词牌,临江仙有很多种句式,有开头六字六字对起首的,也有五字七字起首的,如苏轼「夜饮东坡醒复醉,归来彷彿三更。」,未必每阕临江仙,都能追及小晏该词以如此典雅的对偶开局。

[2] 笔者默默看了每个自己知道的例子,好像每个都满抽象的……。

[3] 它其实是一个矩阵,我想表达的是,我们想把电场跟磁场放在一起当成一个物件。

[4] 这个关係说明了,即便我们日常生活中没看到磁单极,但只要宇宙中某个角落有磁单极,电子的电量就要被量子化。

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